شبكات كولموغوروف-أرنولد التماثلية لتقريب الوظائف بكفاءة في الإلكترونيات المرنة

1. المقدمة

تقدم هذه الورقة منهجية جديدة ومنهجية لتقريب الوظائف في الإلكترونيات المرنة باستخدام تنفيذات تماثلية لشبكات كولموغوروف-أرنولد. التحدي الأساسي الذي يتم معالجته هو المقايضة المتأصلة في الإلكترونيات المرنة بين القدرة الحسابية والقيود الصارمة على الحجم المادي وميزانية الطاقة وتكلفة التصنيع. تصبح الأساليب الرقمية التقليدية مكلفة للغاية من حيث المساحة والطاقة لتطبيقات الإلكترونيات المرنة مثل الأجهزة القابلة للارتداء ومستشعرات إنترنت الأشياء. الحل المقترح يستفيد من مكتبة لكتل البناء التماثلية لبناء شبكات كولموغوروف-أرنولد القائمة على المنحنيات، مما يوفر مسارًا عامًا وفعالًا من حيث العتاد لتضمين المعالجة الذكية بالقرب من المستشعر مباشرة على الركائز المرنة.

2. الخلفية والدافع

2.1 قيود الإلكترونيات المرنة

تمكن الإلكترونيات المرنة، التي تعتمد غالبًا على مواد مثل أكسيد إنديوم جاليوم زنك، من أشكال جديدة للأجهزة القابلة للارتداء واللصقات الطبية ومستشعرات البيئة. ومع ذلك، فإنها تعاني من أحجام ميزات أكبر مقارنة بتقنية السيليكون CMOS، مما يجعل الدوائر الرقمية المعقدة غير فعالة من حيث المساحة. علاوة على ذلك، تتطلب التطبيقات استهلاكًا منخفضًا للغاية للطاقة لتمديد عمر البطارية أو التوافق مع حصاد الطاقة. وهذا يخلق حاجة ملحة لنماذج حسابية تكون بطبيعتها اقتصادية في موارد العتاد.

2.2 شبكات كولموغوروف-أرنولد

تقدم شبكات كولموغوروف-أرنولد، التي أعيد إحياؤها مؤخرًا بواسطة ليو وآخرون (2024)، بديلاً مقنعًا للشبكات العصبية التقليدية متعددة الطبقات. بدلاً من دوال التنشيط الثابتة على العقد، تضع شبكات كولموغوروف-أرنولد دوال أحادية المتغير قابلة للتعلم (عادةً منحنيات) على حواف (أوزان) الشبكة. تقوم نظرية تمثيل كولموغوروف-أرنولد بدعم هذا، حيث تنص على أن أي دالة متعددة المتغيرات مستمرة يمكن تمثيلها كتركيب محدود لدوال مستمرة لمتغير واحد وعملية الجمع. هذا الهيكل قابل بطبيعته للتنفيذ التماثلي الفعال، حيث يتم تقسيم الوظائف المعقدة إلى عمليات أبسط قابلة للتكوين.

3. بنية شبكة كولموغوروف-أرنولد التماثلية المقترحة

3.1 كتل البناء التماثلية

أساس هذا النهج هو مجموعة من الدوائر التماثلية منخفضة الطاقة والمميزة مسبقًا والتي تؤدي عمليات رياضية أساسية: الجمع، الضرب، والتربيع. تم تصميم هذه الكتل مع مراعاة تباينات عملية التصنيع والمقاومات الطفيلية في الإلكترونيات المرنة. طبيعتها المعيارية تسمح بالتكوين المنهجي.

3.2 بناء المنحنيات باستخدام كتل البناء التماثلية

يتم بناء كل دالة أحادية المتغير قابلة للتعلم في شبكة كولموغوروف-أرنولد (منحنى) عن طريق دمج كتل البناء التماثلية. يمكن تنفيذ المنحنى، المحدد بواسطة متعددات حدود مجزأة بين النقاط العقدية، من خلال تفعيل وجمع مخرجات كتل المضاعف والمربع بشكل انتقائي والتي تم تكوينها بمعاملات متعددة الحدود. هذا المنحنى التماثلي يحل محل جدول البحث الرقمي أو وحدة الحساب، مما يوفر مساحة كبيرة.

3.3 تجميع شبكة كولموغوروف-أرنولد

يتم تجميع طبقة كاملة من شبكة كولموغوروف-أرنولد عن طريق توصيل متغيرات الإدخال بمجموعة من كتل المنحنيات التماثلية (واحدة لكل حافة/وزن). يتم جمع مخرجات المنحنيات التي تتقارب على نفس العقدة باستخدام كتل جمع البناء التماثلية. تتكرر هذه العملية لبناء عمق الشبكة. يتم تحديد المعلمات (معاملات المنحنى) خارجيًا عبر التدريب ثم يتم توصيلها بشكل ثابت في انحيازات ومكاسب الدائرة التماثلية.

4. التنفيذ التقني والتفاصيل

4.1 الصياغة الرياضية

جوهر طبقة شبكة كولموغوروف-أرنولد يحول متجه الإدخال $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ إلى متجه الإخراج $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^m$ عبر دوال أحادية المتغير قابلة للتعلم $\Phi_{q,p}$: $$\mathbf{y} = \left( y_1, y_2, ..., y_m \right)$$ $$y_q = \sum_{p=1}^{n} \Phi_{q,p}(x_p), \quad q = 1,...,m$$ في التنفيذ التماثلي، كل $\Phi_{q,p}(\cdot)$ هو دائرة منحنى فيزيائية. يتم إجراء عملية الجمع بواسطة كتلة جمع البناء التماثلية في وضع التيار أو الجهد.

4.2 تصميم الدوائر الكهربائية والمقاومات الطفيلية

يمكن أن تعتمد كتلة المضاعف التماثلية على خلية جيلبرت أو مبدأ عبر خطي للتشغيل بجهد منخفض. يمكن اشتقاق المربع من مضاعف مع مدخلات مرتبطة. تشمل اللا مثالية الرئيسية: عدم تطابق الترانزستور ($\sigma_V_T$)، مما يؤثر على دقة المعاملات؛ المعاوقة النهائية للمخرج، مما يسبب أخطاء تحميل؛ والسعات الطفيلية، مما يحد من عرض النطاق الترددي. تساهم هذه العوامل مجتمعة في خطأ التقريب المقاس.

5. النتائج التجريبية والتحليل

5.1 مقاييس كفاءة العتاد

تم تقييم أداء شبكة كولموغوروف-أرنولد التماثلية المقترحة مقابل تنفيذ رقمي مكافئ للمنحنيات بدقة 8 بت في عملية متوافقة مع الإلكترونيات المرنة. النتائج مذهلة:

• المساحة: تخفيض بمقدار 125 مرة. يلغي التصميم التماثلي السجلات الرقمية الكبيرة والمضاعفات والذاكرة لجداول البحث.
• الطاقة: توفير بنسبة 10.59%. يتجنب الحساب التماثلي الطاقة الديناميكية العالية لتوقيت وتشغيل الدوائر الرقمية.

5.2 تحليل خطأ التقريب

المقايضة لكفاءة العتاد هي الدقة الحسابية. يقدم النظام أقصى خطأ تقريب بنسبة 7.58%. ينشأ هذا الخطأ من مصدرين رئيسيين:

1. خطأ التصميم: الخطأ المتأصل من استخدام عدد محدود من قطع المنحنى لتقريب الوظيفة المستهدفة.
2. خطأ المقاومة الطفيلية: الأخطاء الناتجة عن اللا مثالية التماثلية (عدم التطابق، الضوضاء، المقاومات الطفيلية) في كتل البناء التماثلية.

6. دراسة حالة ومثال إطار العمل

السيناريو: تنفيذ كاشف شذوذ خفيف الوزن لمراقب معدل ضربات القلب المرن. يحتاج الجهاز إلى حساب مؤشر صحة بسيط $H$ من مدخلين: تقلب معدل ضربات القلب $x_1$ والتواء شكل موجة النبض $x_2$. توجد علاقة تجريبية معروفة $H = f(x_1, x_2)$ ولكنها غير خطية.

تطبيق إطار العمل:

1. تحليل الوظيفة: باستخدام إطار العمل المقترح، يتم تقريب $f(x_1, x_2)$ بواسطة شبكة كولموغوروف-أرنولد ذات طبقتين بهيكل [2, 3, 1]. يتم تدريب الشبكة خارجيًا على مجموعة بيانات.
2. تعيين كتل البناء التماثلية: يتم تعيين الدوال أحادية المتغير المدربة (المنحنيات) على الحواف الست للطبقة الأولى والحواف الثلاث للطبقة الثانية إلى معاملات متعددة الحدود.
3. إنشاء الدائرة: لكل منحنى، يتم تحديد العدد المطلوب من مقاطع متعددة الحدود المجزأة. يتم تكوين كتل المضاعف والمربع التماثلية المقابلة بالمعاملات (كجهود/تيارات انحياز) وتوصيلها مع كتل الجمع التماثلية وفقًا لرسم شبكة كولموغوروف-أرنولد.
4. النشر: يتم تصنيع دائرة شبكة كولموغوروف-أرنولد التماثلية هذه مباشرة على الرقعة المرنة. تستهلك باستمرار ميكروواطات من الطاقة، وتعالج بيانات المستشعر في الوقت الفعلي للإشارة إلى الشذوذ دون رقمنة أو إرسال لاسلكي للبيانات الأولية.

7. آفاق التطبيق والاتجاهات المستقبلية

التطبيقات قصيرة المدى:

• اللصقات الطبية الحيوية الذكية: معالجة الإشارات على الرقعة لتخطيط كهربية القلب أو الدماغ أو العضلات، مما يمكن من استخراج الميزات محليًا (مثل كشف مركب QRS) قبل إرسال البيانات.
• مراكز مستشعرات البيئة: المعايرة في الموقع ودمج البيانات لمستشعرات درجة الحرارة والرطوبة والغاز في عقد إنترنت الأشياء.
• التعرف على الإيماءات القابلة للارتداء: المعالجة المسبقة منخفضة الطاقة للغاية للبيانات من مصفوفات مستشعرات الإجهاد أو الضغط المرنة.

1. التدريب المقاوم للخطأ: تطوير خوارزميات تدريب تحسن معلمات شبكة كولموغوروف-أرنولد معًا من أجل الدقة والقوة تجاه اللا مثالية التماثلية للدائرة (مشابه للتدريب العصبي الواعي بالعتاد).
2. كتل البناء التماثلية القابلة للتكيف وإعادة التكوين: استكشاف دوائر حيث يمكن ضبط معاملات المنحنى قليلاً بعد التصنيع للتعويض عن تباينات العملية أو للتكيف مع مهام مختلفة.
3. التكامل مع الاستشعار: تصميم كتل بناء تماثلية تتصل مباشرة بأنواع مستشعرات محددة (مثل الثنائيات الضوئية، العناصر المقاومة للضغط)، نحو دمج حقيقي بين المستشعر والمعالج التماثلي.
4. القابلية للتوسع إلى شبكات أعمق: التحقيق في التقنيات المعمارية وتصميمات الدوائر لإدارة تراكم الضوضاء والخطأ في شبكات كولموغوروف-أرنولد التماثلية الأعمق لمهام أكثر تعقيدًا.

8. المراجع

1. Z. Liu et al., "KAN: Kolmogorov-Arnold Networks," arXiv:2404.19756, 2024. (الورقة الأساسية التي أعادت إحياء شبكات كولموغوروف-أرنولد).
2. Y. Chen et al., "Flexible Hybrid Electronics: A Review," Advanced Materials Technologies, vol. 6, no. 2, 2021.
3. M. Payvand et al., "In-Memory Computing with Emerging Memory Technologies: A Review," Proceedings of the IEEE, 2023. (سياق حول نماذج الحساب الفعالة البديلة).
4. J. Zhu et al., "Analog Neural Networks: An Overview," in IEEE Circuits and Systems Magazine, 2021. (خلفية حول عتاد التعلم الآلي التماثلي).
5. International Roadmap for Devices and Systems (IRDS™), "More than Moore" White Paper, 2022. (يناقش دور التكامل غير المتجانس والعتاد المحدد للتطبيق مثل الإلكترونيات المرنة).
6. B. Murmann, "Mixed-Signal Computing for Deep Neural Network Inference," IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems, 2021. (ذو صلة لتحليل مقايضة الدقة-الكفاءة).

9. التحليل الأصلي والتعليقات الخبيرة