Réseaux Analogiques de Kolmogorov-Arnold pour l'Approximation de Fonctions Efficace en Électronique Flexible

1. Introduction

Cet article présente une méthodologie systématique et novatrice pour l'approximation de fonctions en Électronique Flexible (EF) en utilisant des implémentations analogiques des Réseaux de Kolmogorov-Arnold (KANs). Le défi central abordé est le compromis inhérent à l'EF entre la capacité de calcul et les contraintes strictes sur la taille physique, le budget de puissance et le coût de fabrication. Les approches numériques traditionnelles deviennent prohibitivement coûteuses en surface et en puissance pour des applications d'EF comme les dispositifs portables et les capteurs IoT. La solution proposée exploite une bibliothèque de Blocs de Construction Analogiques (ABB) pour construire des KANs basés sur des splines, offrant une voie générique et efficace en matériel pour intégrer un traitement intelligent, proche du capteur, directement sur des substrats flexibles.

2. Contexte & Motivation

2.1 Contraintes de l'Électronique Flexible

L'Électronique Flexible, souvent basée sur des matériaux comme l'Oxyde d'Indium Gallium Zinc (IGZO), permet de nouvelles formes pour les dispositifs portables, les patchs médicaux et les capteurs environnementaux. Cependant, elle souffre de tailles de motifs plus grandes par rapport au CMOS silicium, rendant les circuits numériques complexes peu efficaces en surface. De plus, les applications exigent une consommation d'énergie ultra-faible pour une autonomie prolongée ou une compatibilité avec la récupération d'énergie. Cela crée un besoin pressant de paradigmes de calcul intrinsèquement frugaux en ressources matérielles.

2.2 Réseaux de Kolmogorov-Arnold (KANs)

Les KANs, récemment revitalisés par Liu et al. (2024), offrent une alternative convaincante aux Perceptrons Multicouches (MLP) traditionnels. Au lieu de fonctions d'activation fixes sur les nœuds, les KANs placent des fonctions univariées apprenables (typiquement des splines) sur les arêtes (poids) du réseau. Le théorème de représentation de Kolmogorov-Arnold sous-tend cela, énonçant que toute fonction continue multivariée peut être représentée comme une composition finie de fonctions continues d'une seule variable et d'addition. Cette structure se prête naturellement à une implémentation analogique efficace, car les fonctions complexes sont décomposées en opérations plus simples et composables.

3. Architecture Proposée de KAN Analogique

3.1 Blocs de Construction Analogiques (ABB)

Le fondement de l'approche est un ensemble de circuits analogiques pré-caractérisés et à faible puissance qui effectuent des opérations mathématiques fondamentales : Addition, Multiplication et Mise au Carré. Ces blocs sont conçus en tenant compte des variations de procédé et des parasites de l'EF. Leur nature modulaire permet une composition systématique.

3.2 Construction de Splines avec les ABB

Chaque fonction univariée apprenable dans le KAN (une spline) est construite en combinant des ABB. Une spline, définie par des polynômes par morceaux entre des nœuds, peut être implémentée en activant sélectivement et en sommant les sorties de blocs multiplicateurs et de mise au carré configurés avec des coefficients polynomiaux. Cette spline analogique remplace une Table de Consultation (LUT) numérique ou une unité arithmétique, économisant une surface significative.

3.3 Assemblage du Réseau KAN

Une couche KAN complète est assemblée en connectant les variables d'entrée à une batterie de blocs de splines analogiques (un par arête/poids). Les sorties des splines convergeant sur le même nœud sont sommées à l'aide d'ABB d'addition. Ce processus est répété pour construire la profondeur du réseau. Les paramètres (coefficients des splines) sont déterminés hors ligne par apprentissage, puis câblés dans les polarisations et les gains du circuit analogique.

4. Implémentation Technique & Détails

4.1 Formulation Mathématique

Le cœur d'une couche KAN transforme un vecteur d'entrée $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ en un vecteur de sortie $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^m$ via des fonctions univariées apprenables $\Phi_{q,p}$ : $$\mathbf{y} = \left( y_1, y_2, ..., y_m \right)$$ $$y_q = \sum_{p=1}^{n} \Phi_{q,p}(x_p), \quad q = 1,...,m$$ Dans l'implémentation analogique, chaque $\Phi_{q,p}(\cdot)$ est un circuit physique de spline. La sommation est effectuée par un ABB additionneur en mode courant ou en mode tension.

4.2 Conception de Circuit & Parasites

L'ABB multiplicateur peut être basé sur une cellule de Gilbert ou un principe translinéaire pour un fonctionnement à basse tension. Le bloc de mise au carré peut être dérivé d'un multiplicateur avec les entrées liées. Les principales non-idéalités incluent : le désappariement des transistors ($\sigma_V_T$), qui affecte la précision des coefficients ; l'impédance de sortie finie, causant des erreurs de charge ; et les capacités parasites, limitant la bande passante. Ces facteurs contribuent collectivement à l'erreur d'approximation mesurée.

5. Résultats Expérimentaux & Analyse

5.1 Métriques d'Efficacité Matérielle

Le KAN analogique proposé a été comparé à une implémentation numérique équivalente de spline avec une précision de 8 bits dans un procédé compatible EF. Les résultats sont frappants :

• Surface : Réduction de 125x. La conception analogique élimine les grands registres numériques, les multiplicateurs et la mémoire pour les LUTs.
• Puissance : Économie de 10,59 %. Le calcul analogique évite la forte puissance dynamique de l'horloge et de la commutation des circuits numériques.

5.2 Analyse de l'Erreur d'Approximation

Le compromis pour l'efficacité matérielle est la précision de calcul. Le système introduit une erreur d'approximation maximale de 7,58 %. Cette erreur provient de deux sources principales :

1. Erreur de Conception : L'erreur inhérente à l'utilisation d'un nombre fini de morceaux de spline pour approximer la fonction cible.
2. Erreur Parasite : Erreurs introduites par les non-idéalités analogiques (désappariement, bruit, parasites) dans les ABB.

6. Étude de Cas & Exemple de Cadre

Scénario : Implémentation d'un détecteur d'anomalies léger pour un moniteur de fréquence cardiaque flexible. L'appareil doit calculer un indice de santé simple $H$ à partir de deux entrées : la variabilité de la fréquence cardiaque (HRV) $x_1$ et l'asymétrie de la forme d'onde du pouls $x_2$. Une relation empirique connue $H = f(x_1, x_2)$ existe mais est non linéaire.

Application du Cadre :

1. Décomposition de Fonction : En utilisant le cadre proposé, $f(x_1, x_2)$ est approximée par un KAN à 2 couches avec la structure [2, 3, 1]. Le réseau est entraîné hors ligne sur un jeu de données.
2. Cartographie ABB : Les fonctions univariées apprises (splines) sur les 6 arêtes de la première couche et les 3 arêtes de la deuxième couche sont mappées sur des coefficients polynomiaux.
3. Instanciation de Circuit : Pour chaque spline, le nombre requis de segments polynomiaux par morceaux est déterminé. Les ABB multiplicateurs et de mise au carré correspondants sont configurés avec les coefficients (sous forme de tensions/courants de polarisation) et interconnectés avec des ABB additionneurs selon le graphe KAN.
4. Déploiement : Ce circuit KAN analogique est fabriqué directement sur le patch flexible. Il consomme continuellement des microwatts de puissance, traitant les données des capteurs en temps réel pour signaler les anomalies sans numérisation ni transmission sans fil des données brutes.

7. Perspectives d'Application & Directions Futures

Applications à court terme :

• Patchs Biomédicaux Intelligents : Traitement du signal sur patch pour ECG, EEG ou EMG, permettant l'extraction locale de caractéristiques (par exemple, détection QRS) avant la transmission des données.
• Concentrateurs de Capteurs Environnementaux : Étalonnage in-situ et fusion de données pour les capteurs de température, d'humidité et de gaz dans les nœuds IoT.
• Reconnaissance de Gestes Portables : Prétraitement ultra-faible puissance des données provenant de réseaux de capteurs de contrainte ou de pression flexibles.

1. Apprentissage Résilient aux Erreurs : Développer des algorithmes d'apprentissage qui co-optimisent les paramètres des KANs à la fois pour la précision et la robustesse aux non-idéalités des circuits analogiques (similaire à l'apprentissage de réseaux de neurones conscient du matériel).
2. ABB Adaptatifs & Reconfigurables : Explorer des circuits où les coefficients des splines peuvent être légèrement ajustés après fabrication pour compenser les variations de procédé ou s'adapter à différentes tâches.
3. Intégration avec la Détection : Concevoir des ABB qui interfacent directement avec des types de capteurs spécifiques (par exemple, photodiodes, éléments piézorésistifs), évoluant vers une véritable fusion capteur-processeur analogique.
4. Évolutivité vers des Réseaux Plus Profonds : Étudier des techniques architecturales et des conceptions de circuits pour gérer l'accumulation de bruit et d'erreur dans des KANs analogiques plus profonds pour des tâches plus complexes.

8. Références

1. Z. Liu et al., "KAN: Kolmogorov-Arnold Networks," arXiv:2404.19756, 2024. (L'article fondateur revitalisant les KANs).
2. Y. Chen et al., "Flexible Hybrid Electronics: A Review," Advanced Materials Technologies, vol. 6, no. 2, 2021.
3. M. Payvand et al., "In-Memory Computing with Emerging Memory Technologies: A Review," Proceedings of the IEEE, 2023. (Contexte sur les paradigmes de calcul efficaces alternatifs).
4. J. Zhu et al., "Analog Neural Networks: An Overview," in IEEE Circuits and Systems Magazine, 2021. (Contexte sur le matériel d'apprentissage automatique analogique).
5. International Roadmap for Devices and Systems (IRDS™), "More than Moore" White Paper, 2022. (Discute du rôle de l'intégration hétérogène et du matériel spécifique à l'application comme l'EF).
6. B. Murmann, "Mixed-Signal Computing for Deep Neural Network Inference," IEEE Transactions on Very Large Scale Integration (VLSI) Systems, 2021. (Pertinent pour l'analyse du compromis précision-efficacité).

9. Analyse Originale & Commentaire d'Expert